Astrahan', Astrakhan, Russian Federation
Astrahan', Astrakhan, Russian Federation
The present research features the problems of wheat processing. Wheat processing has its own specific features. For instance, the process of gluten extrusion forming is very complex since it is associated with the visco-elastic and adhesive properties of raw gluten. The article discusses the results of applying the numerical finite difference method to the Navier-Stokes equation in the case of the one-dimensional problem when a cooled viscoelastic material has to pass through circular nozzles. The paper also features the obtained surface model of velocity evolution and some averaged results for the possible automation of the process. The viscosity properties of raw gluten are variable and depend on temperature, chemical composition, and properties of the raw material. Modeling makes it possible to characterize the properties of the material and its behavior in various situations. Such research demands neither additional time nor significant costs. The authors identified patterns of movement for raw gluten in the extrusion molding unit and selected the most appropriate automation system to control the speed of its movement to the molding assembly in the grinder feed screw. The significance of the research is obvious for subsequent physical and mathematical modeling of heat and mass transfer processes of vacuum freezing and drying and granulating of gluten extrusions. The results of the research presented in the article are consistent with the available information on this topic. The present approach to solving the problem of choosing the best rational hydrodynamic regimes was applied due to the complexity of the experimental determination of velocity fields and the difficulty of analyzing the Navier-Stokes system of hydrodynamic differential equations with variable proportionality coefficients.
Navier-Stokes equation, numerical methods, non-Newtonian fluids, technical means of process control
Уровень и высокие темпы развития вычисли- тельной техники открыли новые возможности для фундаментальных исследований и их приложений в области математического моделирования физиче- ских процессов и управления техническими систе- мами. Выявление закономерностей распределения скоростей и расход неньютоновской вязкоупругой жидкости при установившемся ламинарном режи- ме в прямом канале диска формования на основе решения системы дифференциальных уравнений Навье-Стокса позволит найти конечную среднюю скорость перемещения сырой клейковины в виде штранга на выходе из цилиндрической фильеры и ее расход при известном перепаде давления [13, 15].
Работа не с самим объектом (явлением, процес- сом) исследования (например, перемещение сырой клейковины внутри каналов фильеры), а с его мо- делью, дает возможность относительно быстро, с достаточной полнотой и без существенных матери- альных затрат исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях. Система автоматизации контроля скорости перемещения вязкоупругих ма- териалов до узла формования представляет собой еще один важный этап к рационализации техно- логическими процессами на основе применения информационных технологий, который позволит осуществлять управление операциями, данными, информацией и ресурсами за счет использования компьютеров и программного обеспечения.
Анализ существующих технологий сухой пше- ничной клейковины (СПК) показал, что для повыше- ния эффективности получения СПК перспективным способом является предварительное вакуумное са- мопроизвольное замораживание сырой клейковины, сформованной в виде штранга и последующая его сушка, где скорость продвижения штранга составля- ет важный технологический параметр, влияющий на аппаратурное оформление технологии [3, 12].
Таким образом, для достижения рациональных габаритных размеров разрабатываемой конструк- ции аппарата необходимо провести исследование и моделирование закономерностей движения сырой клейковины в узле формования штранга, а также вы- брать наиболее подходящую систему автоматизации контроля скорости его перемещения до узла формо- вания в шнековом питателе аппарата.
Объекты и методы исследования
В качестве объекта исследования выбрана клей- ковина, отмытая из пшеничного теста [5]. Она
представляет собой сильно гидратированный гель, состоящий в основном из белков, но содержащий еще углеводы, липиды и минеральные вещества (рис. 1).
Для реализации поставленных задач применя- лись общепринятые и специальные методы сбора, обработки и анализа информации: методы модели- рования и расчета скорости процесса движения сы- рой клейковины в узле формования штранга; методы подобных преобразований, а именно, метод анализа размерности в теории подобия; численно-аналитиче- ский метод конечных разностей; методы статистиче- ской обработки экспериментальных данных.
Применение современных компьютерных мате- матических программ, приборов и разработанных опытных установок для исследования выбранного объекта позволило всесторонне изучить исследуе- мую проблему все ее аспекты и параметры.
Результаты и их обсуждение
Исследуемая жидкость, а именно сырая пше- ничная клейковина, согласно классификации [7], относится к третьей группе вязкоупругих или максвелловских жидкостей, которые текут под воздействием напряжения, но после его снятия ча- стично восстанавливают свою форму подобно упру- гим твердым телам. Учитывая, что данный материал обладает структурно-механическими и реологиче- скими свойствами неньютоновских вязкоупругих жидкостей, при этом движется внутри канала с кру- глым сечением (большая вязкость, малые диаметр штранга и скорость его продвижения, для клейкови-
Рисунок 1 – Клейковина, отмытая из пшеничного теста
Figure 1 – Gluten washed from wheat dough
Фоменко Е. В. [и др.] Техника и технология пищевых производств. 2019. Т. 49. № 1 С. 113–119
жести и растяжения, при этом Q= ¶w, r g – отражает
¶z
влияние сил тяжести,
¶P – влияние изменения ста-
|
тического давления, а m æ ¶ w + 1 ¶Q ö – сил трения, растя-
ç ¶z2
3 ¶z ÷
è ø
жения и сжатия. Каждый член уравнения имеет
размерность соответствующей силы, отнесенной к единице объема жидкости.
Проведя математические преобразования полу- чим:
dw ¶P
m æ ¶2 w
1 ¶Q ö
¶P m ¶2 w
= -g
+ ç +
÷ = -g - +1.,33
dt r¶z
r è ¶z2
3 ¶z ø
r¶z
r ¶z2 . (3)
Рисунок 2 – Схема профиля скоростей по сечению потока сырой клейковины в канале фильеры
Figure 2 – Diagram of the velocity profile over the cross section of the
При моделировании допускаем, что влиянием сил тяжести и изменением статического давления, ввиду малых диаметра и длины штранга (от 3 до 8 мм), можно с достаточной для инженерных расче- тов точностью пренебречь, тогда:
|
flow of raw gluten in the nozzle
, ,
dt r ¶z2
¶z2
ны по предлагаемой технологии), можно однозначно утверждать, что его движение происходит в лами- нарном режиме.
При движении исследуемой жидкости в ее потоке кроме сил давления и тяжести возникают силы тре- ния, действие которых проявляется в возникновении внутри потока касательных напряжений. В таком случае для определения эволюции профиля скоро- стей по сечению потока, который можно принять одномерно плоским (рис. 2), целесообразно тем или иным способом решить систему дифференциальных уравнений Навье-Стокса [8, 11]. При этом проекция
где v – коэффициент кинематической вязкости, м2/с. Для решения (4) при определении граничных ус-
ловий П. К. Волков полагает, что из-за сил трения между слоями они будут перемещаться с различны- ми скоростями, причем центральный цилиндриче- ский слой движется с максимальной скоростью [7]. По мере удаления от него к периферии цилиндра скорость элементарных кольцевых слоев будет сни- жаться, а непосредственно у стенки фильеры жид- кость как бы прилипает к ней и скорость на границе
wгр обращается в нуль.
Однако в реальности граничная скорость wгр не равна нулю вследствие проскальзывания жидко-
скорости w зависит только от расстояния до плоско-
сти вдоль стенки. Скорость проскальзывания
wпр
сти отсчета перпендикулярной направлению оси пе-
редвижения.
Тогда уравнение движения штранга в канале фи- льеры можно представить в виде:
определялась путем оценки разности модельной
скорости при нулевых граничных условиях и, опре- деленной экспериментальным путем, скорости на выходе из фильеры.
r dw dt
= -r g - ¶P + m
¶z
¶2 w
¶z2
, (1)
Полученная математическая модель движения сырой клейковины в узле формования штранга (4)
где – время движения, c ; z – координата по оси, перпендикулярной направлению оси передвижения, м; g – ускорение свободного падения, м/с2; r – плот-
ность, кг/м3; ¶P – градиент давления, Па/м; m – коэф-
¶z
фициент динамической вязкости, Па·с.
При движении сжимаемой, как в нашем случае, жидкости дополнительно возникают силы сжатия и растяжения, вызванные трением. Тогда уравнение движения принимает следующий вид:
разрабатывалась и решалась с применением совре-
менных компьютерных математических программ, приборов и разработанных опытных установок.
На основе анализа результатов эксперимента (табл. 1) была определена средняя wпр клейковины на выходе из канала фильеры.
На основе анализа результатов моделирования выяснено, что снижение скорости как на границе, так и по диаметру фильеры происходит по экспонен- циальному закону при ее стремлении к нулю. Тогда:
dw ¶P
æ ¶2 w
1 ¶Q ö
r = -r g - + m ç +
÷, (2)
-4 200(tт -tн)
dt ¶z
è ¶z2
3 ¶z ø
wгр
= 0, 002 -10 e
, (5)
где частная производная ¶Q
¶z
выражает изменение
где t т и н – текущее и начальное время движения
скорости по оси z, связанное с действием сил тя-
Таблица 1 – Среднее значение wпр на выходе из канала фильеры
Table 1 – Average value of wпр at the nozzle exit
соответственно, с.
Используя для упрощенных расчетов значения средних величин вязкости и скорости передвижения
|
использовать представленное соотношение [1] для расчета потери напора в виде:
|
m
|
2d 2
Fomenko E.V. et al. Food Processing: Techniques and Technology, 2019, vol. 49, no. 1, pp. 113–119
(а) (б)
Рисунок 3 – Контроль регулирования скорости прохождения материала в канале питателя: (а) схема установки оптического датчика и контроль расстояния; (б) оптический датчик контроля
Figure 3 – Control of regulation of the flux in the feeder channel: (a) diagram of the installation of the optical sensor and the distance control;
(b) optical control sensor
Согласно проведенным расчетам снижение дав- ления в фильере не превышает 0,5 атм при наихуд- ших в этом аспекте гидродинамических условиях, поэтому разницы между давлением перед филье- рой (1 атм даже без подпрессовки в экструдере) и в вакуумной камере достаточно для организации процесса прохождения клейковины через канал фи- льеры. Наример, если длина фильеры, как в нашем случае, l = 3 мм, то потеря давления составляет при- мерно 1000 Па, что несущественно, но подпрессов- ка в шнековом питателе необходима при забивании фильеры, например, в случае попадания в исходный материал посторонних включений или отклонения значений характеристик клейковины при изменении технологии ее получения.
В автоматических процессах (объектах) доста- точно часто необходимо изменять или поддерживать постоянными какие-либо физические величины, на- зываемыми регулируемыми переменными (напри- мер, частоту вращения вала турбины, координаты движущегося объекта, напряжение, температуру, уровень, давление и т. д.). В данном случае поддер- жание скорости движения клейковины в шнековом питателе (рис. 3).
Контроль регулирования рациональной скоро- сти движения клейковины в шнековом питателе возможен путем оценки степени заполнения поло- стей между стенками приемного бункера и шнеко- вого питателя (рис. 3а). При стабильной работе аппарата с заданными параметрами и обеспече- ния постоянства расхода данные полости должны быть не заполнены, поэтому посредством датчика (рис. 3б) контролируется заданное расстояние от верхней внутренней поверхности питателя до по- верхности материала. В случае изменения заданного расстояния скорость вращения рабочего шнека необ- ходимо либо увеличить, либо уменьшить.
Конструкция датчиков расстояния разработана для реализации двух задач, выполняемых датчика- ми: максимальная точность измерений и высокая скорость обработки данных при измерениях в ди- апазоне нескольких миллиметров. В конструкции датчиков расстояния (рис. 3б) используется метод
измерения скорости возврата луча. Световой пучок направляется на поверхность тестируемого объекта (источником света может быть, например, лазерный диод). В корпусе датчика установлена оптика при- емника, которая принимает отраженные лучи на светочувствительном элементе. В зависимости от положения отраженного луча и известной геометрии определяется расстояние до тестируемого объекта.
Для достижения поставленной цели, а именно расчета эволюции полей скоростей в процессе дви- жения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры, разработанная математическая мо- дель (4) была решена численным методом конечных разностей [1].
Такой подход к решению задачи выбора раци- ональных гидродинамических режимов применен ввиду сложности экспериментального определения полей скоростей и трудности аналитического реше- ния системы гидродинамических дифференциальных уравнений Навье-Стокса при переменных коэффици- ентах пропорциональности [2, 10, 16]. Для численного решения дифференциального уравнения параболи- ческого типа в частных производных при заданных начальных и граничных условиях применен метод ко- нечных разностей по неявной схеме [4, 6].
Реализация математической модели (4) выполне- на в среде специализированного программного обе- спечения Mathcad Professional при установленных режимных параметрах:
- начальная скорость потока сырой клейковины при входе в канал фильеры wнач = 0, 5 м/с;
- формовочный диск с каналом фильеры диаметром
8 мм и высотой 3 мм;
- начальная температура сырой клейковины
TНАЧ = 272 K;
- коэффициент динамической вязкости сырой клей- ковины mкл » 5 Па, с.
Графическая аппроксимация полученных ско- ростных полей (рис. 4) при рациональных режимах показывает, что распределение w по глубине штран- га имеет экстремальный характер [9]. Также отме- чены значительные скоростные градиенты в начале движения при их сглаживании в процессе перемеще-
Фоменко Е. В. [и др.] Техника и технология пищевых производств. 2019. Т. 49. № 1 С. 113–119
Рисунок 4 – Эволюция полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры
Figure 4 – Evolution of velocity fields in the process of movement of visco-elastic materials (gluten) through the nozzle
ния клейковины по фильере, что подтверждает обо- снованность сделанных выводов и допущений.
Для удобства анализа полученной поверхности скоростей (рис. 4) на рисунке 5 представлена гра- фическая зависимость средней объемной скорости wср , м/с от продолжительности процесса формования
|
Рисунок 5 – Графическая зависимость wср , м/с от продолжительности процесса движения
Figure 5 – G raphic dependence wср (m/c) on the duration of the process of movement
Рисунок 6 – Блок-схема алгоритма управления
На рисунке 6 приведена блок-схема алгоритма
управления скорости движения сырой клейковины в шнековом питателе до узла формования с регулиру- емой величиной: расстояние от верхней внутренней
Выводы
Figure 6 – Control flowchart
поверхности питателя до поверхности материала. Схема состоит из объекта управления и устройства управления. Объект управления – это основной элемент системы, сырая клейковина, заданный ре- жим движения которой должен поддерживаться устройством управления (оптическим датчиком кон- троля расстояния) при помощи управляющих (ре- гулирующих) органов. Под управляющим органом подразумевается устройство, обеспечивающие про- цесс управления, т. е. целенаправленное действие, приводящие к желаемому изменению управляемой переменной. Для уменьшения ошибки регулирова- ния в систему вводят обратную связь.
Задающие устройство (ЗУ) оказывает управляю- щее воздействие на вход системы, формируя програм- му изменения регулируемой величины. ЗУ подает сигнал после получения данных с датчика (КУ) и их анализ через контроллер параметра (КП) исполнитель- ному механизму (ИМ) – вариатору, который непосред- ственно является корректирующим звеном системы.
Выявления соответствий требуемого и получен- ного значения выполняет сравнивающие устройство (КП). Если величина расстояния не отклоняется от заданного, то через заданный промежуток времени происходит повторный замер сигнала через КУ.
Как видно из полученных графических зависи-
мостей (рис. 4, 5), среднеобъемная скорость сырого глютена в начальный период быстро снижается до половины своего первоначального значения, вслед- ствие имеющего местного сопротивления, связанно- го с резким переходом толщин клейковинного слоя, соответствующими диаметрами питателя и канала фильеры, а затем плавно понижается, что обусловле- но его ламинарным движением в канале.
Следует отметить, что рассчитанное среднеобъ- емное распределение скорости по толщине клейко- винного штранга соответствует рекомендованному пороговому его значению на выходе из смесителя, равное 0,011 м/с.
Таким образом, разработанные скоростные ре- жимы прохождения сырой клейковины в канале формования штранга и контроль скорости его пере- мещения до узла формования в шнековом питателе аппарата могут быть рекомендованы для внедрения в производственную практику.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта инте- ресов.
1. Aleksanyan IYu, Buynov AA. Vysokointensivnaya sushka pishchevykh produktov. Penosushka. Teoriya. Praktika. Modelirovanie [High-intensity food drying. Foam drying. Theory. Practice. Modeling]. Astrakhan: Astrakhan State Technical University; 2004. 380 p. (In Russ.).
2. Vanin SV, Kolpakova VV. Funktsionalʹnye svoystva sukhoy pshenichnoy kleykoviny raznogo kachestva [Functional properties of dry wheat gluten of different quality]. News of Institutes of higher education. Food Technology. 2007;296(1):21-24. (In Russ.).
3. Ananʹev PA, Volkov PK, Pereverzev AV. Issledovanie korrektnosti kraevykh zadach dlya uravneniy Navʹe-Stoksa v estestvennykh peremennykh [Correctness of boundary value problems for the Navier-Stokes equations in natural variables]. Mathematical Models and Computer Simulations. 2004;16(7):68-76. (In Russ.).
4. State Standard 31934-2012. Wheat gluten. Specifications. Moscow: Standartiform; 2013.
5. Demidovich BP, Maron IA, Shuvalova EhZ. Chislennye metody analiza. Priblizhenie funktsiy, differentsialʹnye i integralʹnye uravneniya [Numerical analysis methods. Approximation of functions, differential and integral equations]. St. Petersburg: Lan; 2010. 400 p. (In Russ.).
6. Volkov PK. On the source of motion of liquids. Yugra State University Bulletin. 2011;21(2):8-28. (In Russ.).
7. Lapchik MP, Ragulina MI, Khenner EK. Ehlementy chislennykh metodov [Elements of numerical methods]. Moscow: Akademia; 2007. 224 p. (In Russ.).
8. Nugmanov AH-H, Maximenko YuA, Aleksanian AI, Aleksanian OA. Investigation of physical and chemical properties of minced fish, dry vegetable premixes and their mixtures. Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Fishing Industry. 2018;(2):135-148. (In Russ.). DOI: https://doi.org/10.24143/2073-5529-2018-2-135-148.
9. Markin EE, Skachkov PP. Solution of the navier stokes complete system of equations with parallelization of the computation process. European Student Scientific Journal. 2017;(2):70-78. (In Russ.).
10. Pontryagin LS. Obyknovennye differentsialʹnye uravneniya [Ordinary differential equations]. Moscow: Lenand; 2019. 336 p. (In Russ.).
11. Shkhalakhov DS, Nesterenko AA. Ispolʹzovanie rastitelʹnykh belkov v myasnoy promyshlennosti posredstvom dobavleniya belkovozhirovoy ehmulʹsii [Use of vegetable proteins in meat industry by adding a protein-fat emulsion]. Young Scientist. 2016;127(23):109-111. (In Russ.).
12. Wang ZJ. High-order methods for the Euler and Navier-Stokes equations on unstructured grids. Progress in Aerospace Sciences. 2007;43(1-3):1-41. DOI: https://doi.org/10.1016/j.paerosci.2007.05.001.
13. Wang L, Mavriplis DJ. Adjoint-based h-p adaptive Discontinuous Galerkin methods for the compressible Euler equations. 47th AIAA Aerospace Sciences Meeting including the New Horizons Forum and Aerospace Exposition; 2009; Orlando, USA. Orlando, USA, 2009.
14. Tan Z, Le DV, Li Z, Lim KM, Khoo BC. An immersed interface method for solving incompressible viscous flows with piecewise constant viscosity across a moving elastic membrane. Journal of Computational Physics. 2008;227(23):9955-9983. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2008.08.013.
15. Powell CE, Silvester DJ. Preconditioning Steady-State Navier--Stokes Equations with Random Data. SIAM Journal on Scientific Computing. 2012;34(5):A2482-A2506. DOI: https://doi.org/10.1137/120870578.
16. Bruyatskiy EV, Kostin AG, Nikiforovich EI, Rozumnyuk NV. Metod chislennogo resheniya uravneniy Navʹe-Stoksa v peremennykh skorostʹ-davlenie [Numerical solution method of the Navier-Stokes equations in velocity - pressure variables]. Prikladna gidromekhanika [Applied Hydromechanics]. 2008;10(2):13-23. (In Russ.).
